United.ac.id

Menguak Rahasia Relasi dan Fungsi: Panduan Lengkap Contoh Soal Matematika Kelas 9 (KD 3.4 & 4.4)

Pendahuluan

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang sulit dan abstrak. Namun, di balik kerumitannya, matematika menyimpan keindahan logika dan keteraturan yang sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu materi penting yang akan Anda pelajari di kelas 9 adalah tentang relasi dan fungsi. Konsep ini tidak hanya fundamental dalam matematika itu sendiri, tetapi juga menjadi dasar untuk memahami berbagai fenomena di dunia nyata, mulai dari perhitungan biaya transportasi, pertumbuhan populasi, hingga analisis data ekonomi.

Dalam kurikulum pendidikan, materi relasi dan fungsi di kelas 9 tercakup dalam Kompetensi Dasar (KD) 3.4 dan 4.4. KD 3.4 berfokus pada kemampuan Anda untuk "menjelaskan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi," yang berarti Anda harus memahami konsep dasar, notasi, dan cara kerja relasi dan fungsi. Sementara itu, KD 4.4 menuntut Anda untuk "menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan relasi dan fungsi," artinya Anda diharapkan mampu menerapkan pemahaman relasi dan fungsi untuk memecahkan persoalan-persoalan yang muncul dalam kehidupan nyata.

Artikel ini akan memandu Anda memahami konsep relasi dan fungsi secara mendalam, dilengkapi dengan berbagai contoh soal beserta pembahasannya yang rinci, baik untuk KD 3.4 maupun KD 4.4. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya sekadar hafal rumus, tetapi benar-benar mengerti esensi dari materi ini dan siap menghadapi berbagai jenis soal.

Memahami Konsep Relasi dan Fungsi

Sebelum melangkah ke contoh soal, mari kita pahami kembali apa itu relasi dan fungsi.

A. Relasi

Secara sederhana, relasi adalah hubungan antara anggota satu himpunan dengan anggota himpunan lainnya. Relasi dapat diartikan sebagai "pasangan berurutan" dari dua himpunan.

• Contoh Relasi dalam Kehidupan Sehari-hari:

  • "Suka makan" antara himpunan siswa dengan himpunan makanan. (Misalnya, Budi suka nasi goreng, Ani suka bakso).
  • "Anak dari" antara himpunan anak dengan himpunan orang tua.
  • "Ibukota dari" antara himpunan negara dengan himpunan kota.

• Cara Menyatakan Relasi:

  1. Diagram Panah: Menggunakan dua oval (himpunan A dan B) dan panah untuk menunjukkan hubungan.
  2. Himpunan Pasangan Berurutan: Menuliskan pasangan anggota yang berelasi dalam kurung kurawal. Contoh: (Budi, Nasi Goreng), (Ani, Bakso).
  3. Diagram Kartesius: Menggunakan sumbu X untuk anggota himpunan pertama dan sumbu Y untuk anggota himpunan kedua, lalu menandai titik-titik yang berelasi.

B. Fungsi (Pemetaan)

Fungsi adalah jenis relasi yang lebih spesifik. Sebuah relasi disebut fungsi jika setiap anggota himpunan pertama (domain) memiliki TEPAT SATU pasangan di himpunan kedua (kodomain). Tidak boleh ada anggota domain yang tidak memiliki pasangan, dan tidak boleh ada anggota domain yang memiliki lebih dari satu pasangan.

• Istilah Penting dalam Fungsi:

  • Domain (Daerah Asal): Himpunan semua anggota yang menjadi "input" atau "awal" dari suatu fungsi.
  • Kodomain (Daerah Kawan): Himpunan semua anggota yang menjadi "target" atau "tujuan" dari suatu fungsi.
  • Range (Daerah Hasil): Himpunan semua anggota kodomain yang benar-benar menjadi pasangan dari anggota domain. Range adalah himpunan bagian dari kodomain.

• Notasi Fungsi:
  Fungsi sering dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, h. Jika x adalah anggota domain dan y adalah pasangannya di kodomain, kita bisa menulis y = f(x) atau f: x → y. Ini dibaca "f dari x" atau "f memetakan x ke y".

• Contoh Fungsi:

  • "Nomor sepatu dari" antara himpunan siswa dengan himpunan nomor sepatu. (Setiap siswa hanya punya satu nomor sepatu).
  • "Kuadrat dari" antara himpunan bilangan bulat dengan himpunan bilangan bulat. (Setiap bilangan bulat hanya punya satu nilai kuadrat).

Contoh Soal dan Pembahasan KD 3.4 (Konsep & Penerapan Dasar)

KD 3.4 menguji pemahaman Anda tentang definisi, notasi, dan karakteristik relasi dan fungsi.

Soal 1: Mengidentifikasi Relasi dan Fungsi

Diberikan himpunan A = 1, 2, 3 dan himpunan B = a, b. Tentukan apakah relasi-relasi berikut merupakan fungsi atau bukan!
a. R1 = (1, a), (2, b), (3, a)
b. R2 = (1, a), (1, b), (2, a), (3, b)
c. R3 = (1, b), (2, b)

Pembahasan:

Untuk menentukan apakah suatu relasi adalah fungsi, kita perlu memeriksa dua syarat:

1. Setiap anggota domain (himpunan A) harus memiliki pasangan.
2. Setiap anggota domain (himpunan A) harus memiliki tepat satu pasangan.

a. R1 = (1, a), (2, b), (3, a)

• Anggota domain: 1, 2, 3. Semua memiliki pasangan.
• Pasangan dari 1 adalah a (satu).
• Pasangan dari 2 adalah b (satu).
• Pasangan dari 3 adalah a (satu).
• Karena setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan, maka R1 adalah sebuah fungsi.

b. R2 = (1, a), (1, b), (2, a), (3, b)

• Anggota domain: 1, 2, 3. Semua memiliki pasangan.
• Namun, perhatikan anggota 1 dari domain. Ia berpasangan dengan ‘a’ DAN ‘b’.
• Karena ada anggota domain (yaitu 1) yang memiliki lebih dari satu pasangan, maka R2 bukan sebuah fungsi.

c. R3 = (1, b), (2, b)

• Anggota domain yang memiliki pasangan hanya 1 dan 2. Anggota 3 dari himpunan A tidak memiliki pasangan.
• Karena ada anggota domain (yaitu 3) yang tidak memiliki pasangan, maka R3 bukan sebuah fungsi.

Soal 2: Menentukan Domain, Kodomain, dan Range

Diketahui fungsi f: x → 3x – 2 dengan domain D = -2, -1, 0, 1, 2. Tentukan:
a. Rumus fungsi
b. Kodomain (jika tidak disebutkan, anggap bilangan bulat)
c. Range (daerah hasil)

Pembahasan:

a. Rumus fungsi:
Dari notasi f: x → 3x – 2, rumus fungsinya adalah f(x) = 3x – 2.

b. Kodomain:
Jika tidak disebutkan secara spesifik, dan hasil dari fungsi ini berupa bilangan bulat, kita bisa menyatakan kodomainnya adalah himpunan bilangan bulat, dinotasikan dengan Z (atau himpunan bilangan Real, R, jika memungkinkan). Dalam konteks soal sekolah, seringkali diasumsikan sebagai bilangan bulat jika inputnya bilangan bulat.

c. Range (daerah hasil):
Untuk mencari range, kita substitusikan setiap anggota domain ke dalam rumus fungsi:

• Untuk x = -2: f(-2) = 3(-2) – 2 = -6 – 2 = -8
• Untuk x = -1: f(-1) = 3(-1) – 2 = -3 – 2 = -5
• Untuk x = 0: f(0) = 3(0) – 2 = 0 – 2 = -2
• Untuk x = 1: f(1) = 3(1) – 2 = 3 – 2 = 1
• Untuk x = 2: f(2) = 3(2) – 2 = 6 – 2 = 4
  Jadi, range dari fungsi f adalah -8, -5, -2, 1, 4.

Soal 3: Menentukan Rumus Fungsi dari Nilai yang Diketahui

Suatu fungsi g didefinisikan dengan rumus g(x) = ax + b. Jika diketahui g(2) = 7 dan g(-1) = -2, tentukan:
a. Nilai a dan b
b. Rumus fungsi g(x)
c. Nilai g(5)

Pembahasan:

a. Nilai a dan b:
Kita punya dua informasi:

1. g(2) = 7 → Substitusikan x = 2 ke rumus g(x) = ax + b:
   a(2) + b = 7
   2a + b = 7 (Persamaan 1)

2. g(-1) = -2 → Substitusikan x = -1 ke rumus g(x) = ax + b:
   a(-1) + b = -2
   -a + b = -2 (Persamaan 2)

   Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear dua variabel. Kita bisa gunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari gunakan eliminasi:
   (2a + b = 7)
   (-a + b = -2)
   —————- – (kurangkan kedua persamaan untuk menghilangkan b)
   (2a – (-a)) + (b – b) = 7 – (-2)
   3a + 0 = 9
   3a = 9
   a = 3

   Substitusikan nilai a = 3 ke salah satu persamaan (misal Persamaan 1):
   2(3) + b = 7
   6 + b = 7
   b = 7 – 6
   b = 1
   Jadi, nilai a = 3 dan b = 1.

b. Rumus fungsi g(x):
Karena a = 3 dan b = 1, maka rumus fungsi g(x) adalah g(x) = 3x + 1.

c. Nilai g(5):
Substitusikan x = 5 ke rumus g(x) = 3x + 1:
g(5) = 3(5) + 1
g(5) = 15 + 1
g(5) = 16

Soal 4: Menentukan Nilai Variabel Jika Diketahui Nilai Fungsi

Diketahui fungsi f(x) = 5x – 7. Jika f(k) = 18, tentukan nilai k.

Pembahasan:

Kita tahu bahwa f(k) berarti kita mengganti x dengan k dalam rumus fungsi.
f(k) = 5k – 7

Kita juga diberitahu bahwa f(k) = 18. Maka, kita bisa membuat persamaan:
5k – 7 = 18
Tambahkan 7 ke kedua sisi:
5k = 18 + 7
5k = 25
Bagi kedua sisi dengan 5:
k = 25 / 5
k = 5

Contoh Soal dan Pembahasan KD 4.4 (Masalah Kontekstual)

KD 4.4 menguji kemampuan Anda dalam menerapkan konsep relasi dan fungsi untuk memecahkan masalah-masalah yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Kunci dari soal jenis ini adalah mampu menerjemahkan situasi nyata ke dalam model matematika (fungsi).

Soal 5: Biaya Taksi (Fungsi Linear)

Sebuah perusahaan taksi menetapkan tarif awal Rp 10.000,00 dan tarif tambahan Rp 4.000,00 per kilometer.
a. Tuliskan rumus fungsi yang menyatakan biaya taksi (y) sebagai fungsi dari jarak tempuh (x) dalam kilometer.
b. Berapa biaya yang harus dibayar jika menempuh jarak 12 km?
c. Jika seorang penumpang membayar Rp 70.000,00, berapa jarak tempuh yang ia lalui?

Pembahasan:

a. Rumus fungsi:

• Tarif awal adalah biaya tetap: Rp 10.000,00
• Tarif tambahan per kilometer: Rp 4.000,00
• Jarak tempuh = x kilometer
• Biaya total = y
  Maka, biaya total adalah tarif awal ditambah (tarif per km dikalikan jarak tempuh).
  y = f(x) = 10.000 + 4.000x

b. Biaya untuk jarak 12 km:
Gunakan rumus fungsi yang telah kita buat, substitusikan x = 12:
f(12) = 10.000 + 4.000(12)
f(12) = 10.000 + 48.000
f(12) = 58.000
Jadi, biaya yang harus dibayar untuk menempuh jarak 12 km adalah Rp 58.000,00.

c. Jarak tempuh jika membayar Rp 70.000,00:
Kita tahu y = 70.000. Kita perlu mencari nilai x.
70.000 = 10.000 + 4.000x
Kurangkan 10.000 dari kedua sisi:
70.000 – 10.000 = 4.000x
60.000 = 4.000x
Bagi kedua sisi dengan 4.000:
x = 60.000 / 4.000
x = 15
Jadi, jarak tempuh yang dilalui adalah 15 km.

Soal 6: Pertumbuhan Tanaman (Fungsi Linear Sederhana)

Seorang peneliti mengamati pertumbuhan tanaman. Pada awal pengamatan, tinggi tanaman adalah 5 cm. Setiap minggu, tinggi tanaman bertambah 2 cm.
a. Buatlah rumus fungsi yang menyatakan tinggi tanaman (h) setelah t minggu.
b. Berapa tinggi tanaman setelah 7 minggu?
c. Berapa lama waktu yang dibutuhkan agar tinggi tanaman mencapai 25 cm?

Pembahasan:

a. Rumus fungsi:

• Tinggi awal = 5 cm (nilai tetap)
• Pertambahan tinggi per minggu = 2 cm
• Jumlah minggu = t
• Tinggi tanaman = h
  Tinggi tanaman adalah tinggi awal ditambah (pertambahan per minggu dikalikan jumlah minggu).
  h(t) = 5 + 2t

b. Tinggi tanaman setelah 7 minggu:
Substitusikan t = 7 ke rumus fungsi:
h(7) = 5 + 2(7)
h(7) = 5 + 14
h(7) = 19
Jadi, tinggi tanaman setelah 7 minggu adalah 19 cm.

c. Waktu yang dibutuhkan agar tinggi tanaman mencapai 25 cm:
Kita tahu h(t) = 25. Kita perlu mencari nilai t.
25 = 5 + 2t
Kurangkan 5 dari kedua sisi:
25 – 5 = 2t
20 = 2t
Bagi kedua sisi dengan 2:
t = 20 / 2
t = 10
Jadi, waktu yang dibutuhkan agar tinggi tanaman mencapai 25 cm adalah 10 minggu.

Soal 7: Produksi Barang (Fungsi Linear dengan Batasan Domain)

Sebuah pabrik sepatu memiliki kapasitas produksi harian minimum 50 pasang sepatu dan maksimum 300 pasang sepatu. Biaya produksi satu pasang sepatu adalah Rp 75.000,00, dan ada biaya operasional tetap harian sebesar Rp 5.000.000,00.
a. Tuliskan rumus fungsi biaya total produksi (C) dalam sehari jika memproduksi x pasang sepatu.
b. Tentukan domain dan range dari fungsi biaya total produksi ini.
c. Berapa biaya total produksi jika pabrik memproduksi 200 pasang sepatu dalam sehari?

Pembahasan:

a. Rumus fungsi biaya total produksi:

• Biaya tetap harian = Rp 5.000.000,00
• Biaya per pasang sepatu = Rp 75.000,00
• Jumlah pasang sepatu = x
• Biaya total = C
  Maka, biaya total adalah biaya tetap ditambah (biaya per pasang dikalikan jumlah pasang).
  C(x) = 5.000.000 + 75.000x

b. Domain dan Range:

• Domain: Kapasitas produksi harian minimum 50 pasang dan maksimum 300 pasang. Karena jumlah sepatu harus bilangan bulat, maka domainnya adalah:
  D = 50 ≤ x ≤ 300, x ∈ bilangan bulat
• Range: Untuk menentukan range, kita hitung biaya total pada batas minimum dan maksimum produksi:
  • Untuk x = 50:
    C(50) = 5.000.000 + 75.000(50)
    C(50) = 5.000.000 + 3.750.000
    C(50) = 8.750.000
  • Untuk x = 300:
    C(300) = 5.000.000 + 75.000(300)
    C(300) = 5.000.000 + 22.500.000
    C(300) = 27.500.000
    Jadi, range dari fungsi biaya total produksi adalah:
    R = 8.750.000 ≤ C(x) ≤ 27.500.000, C(x) ∈ bilangan bulat (rupiah)

c. Biaya total produksi untuk 200 pasang sepatu:
Substitusikan x = 200 ke rumus fungsi:
C(200) = 5.000.000 + 75.000(200)
C(200) = 5.000.000 + 15.000.000
C(200) = 20.000.000
Jadi, biaya total produksi jika pabrik memproduksi 200 pasang sepatu adalah Rp 20.000.000,00.

Strategi Menyelesaikan Soal Relasi dan Fungsi

Untuk menguasai materi ini, ikuti strategi berikut:

1. Pahami Konsep Dasar: Pastikan Anda benar-benar mengerti perbedaan antara relasi dan fungsi, serta definisi domain, kodomain, dan range.
2. Identifikasi Informasi: Dalam soal cerita, kenali apa yang diketahui (input, kondisi, konstanta) dan apa yang ditanyakan (output, nilai tertentu).
3. Terjemahkan ke Model Matematika: Jika soalnya kontekstual, ubah deskripsi masalah menjadi rumus fungsi matematis (misalnya, y = mx + c untuk fungsi linear).
4. Tentukan Variabel: Beri nama variabel yang jelas (misalnya, x untuk jarak, t untuk waktu, C untuk biaya).
5. Substitusi dan Hitung: Lakukan perhitungan dengan teliti sesuai dengan permintaan soal.
6. Periksa Kembali: Setelah mendapatkan jawaban, cek apakah jawaban tersebut masuk akal dalam konteks masalah.

Kesimpulan

Materi relasi dan fungsi adalah pilar penting dalam matematika yang akan terus Anda temui di jenjang pendidikan selanjutnya. Dengan memahami KD 3.4, Anda akan menguasai dasar-dasar konseptual, notasi, dan karakteristik fungsi. Sementara itu, KD 4.4 melatih Anda untuk menjadi pemecah masalah yang handal, mampu menerjemahkan situasi dunia nyata ke dalam bahasa matematika.

Jangan takut menghadapi soal-soal relasi dan fungsi. Kuncinya adalah latihan yang konsisten, pemahaman konsep yang kuat, dan kemampuan untuk berpikir logis. Dengan menguasai materi ini, Anda tidak hanya akan meraih nilai yang baik di pelajaran matematika, tetapi juga mengembangkan kemampuan berpikir analitis yang sangat berharga dalam kehidupan. Teruslah berlatih, dan Anda pasti akan menguasainya!